Equações diferenciais estocásticas, modelação, estimação de parâmetros, programação em R

Esta UC visa proporcionar os conhecimentos e competências na teoria e aplicações das equações diferenciais estocásticas (EDEs) para a análise e modelação de fenómenos que ocorrem em ambiente aleatório. Ao concluir esta UC o estudante deverá estar capaz de

(i)                 conhecer as principais técnicas de simulação computacional

(ii)                conhecer os principais modelos de EDEs, estudar a existência, a unicidade e as propriedades das suas soluções

(iii)               aplicar os modelos anteriores a casos práticos nas áreas da biologia, ecologia, economia, gestão e finanças

(iv)               resolver analítica ou numericamente EDEs

(v)                estimar os parâmetros de modelos de EDEs

1.       Simulação computacional

a.       Simulação de Monte Carlo

b.       Geração de números pseudoaleatórios

c.       Simulação de variáveis aleatórias

d.       Simulação de cadeias de Markov

e.       Integração de Monte Carlo

f.        Métodos de simulação avançados

2.       Equações diferenciais estocásticas

a.       Existência e unicidade de soluções

b.       Taxonomia de EDEs, soluções e propriedades

c.       Propriedades de soluções e soluções como processos de Markov

d.       Estabilidade

3.       Modelos de EDEs

a.       Aplicações ao crescimento populacional

b.       Aplicações à economia e à gestão

c.       Aplicação às finanças

4.       Aproximação e estimação de soluções de EDEs

a.       Esquemas iterativos de Euler-Maruyama e Milstein

b.       Transformação de Lamperti

c.       Linearização: Ozaki e Shoji-Ozaki

d.       Expansão de Taylor estocástica

5.       Estimação de parâmetros de EDEs

a.       (Des)conhecendo a probabilidade de transição

b.       Método da máxima verosimilhança

c.       Mudança de variável

1.       W.J. Braun, D.J. Murdoch, “A First Course in Statistical Programming with R”, Cambridge University Press, Cambridge, 2016. ISBN 978-1-107-57646-9.

2.       R.F. Bass, “Stochastic Processes”, Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics, vol. 33, Cambridge University Press, Cambridge, 2011. ISBN 978-1-107-00800-7.

3.       B. Øksendal, “Stochastic Differential Equations – An Introduction with Applications”, Sixth edition, Springer-Verlag, New York, 2003. ISBN 978-3-540-04758-2.

4.       M. J. Panik, “Stochastic Differential Equations,” John Wiley & Sons, Inc, New Jersey, 2017. ISBN 978-1-119-37738-2.

O ensino e avaliação serão genericamente enquadradas pelo Modelo Pedagógico Virtual da Universidade Aberta, o qual preconiza um ensino centrado no estudante, e abordagens assíncronas que propiciem o desenvolvimento de trabalho colaborativo entre os estudantes e uma forte interação dos estudantes entre eles e com o docente. Cada um dos cinco itens dos conteúdos programáticos terá um período de trabalho na turma virtual de entre 1 e 3 semanas, ao longo do qual serão propostos conjuntos de problemas para trabalho dos estudantes, organizados em grupos. As discussões em fórum serão avaliadas e incentivadas, assim como a interação com o docente em fórum a fim de esclarecimento de dúvidas ou de eventuais explicações de conceitos, resultados ou técnicas. Para além da avaliação dos exercícios trabalhados em grupo e das intervenções nos fóruns, haverá um trabalho final individual distinto para cada estudante.

Resolução de exercícios e projeto.

A frequência desta UC pressupõe que o Estudante já concluiu com sucesso cumulativamente UC relacionadas com os seguintes tópicos: Probabilidades, Inferência Estatística, Equações Diferenciais, Processos Estocásticos, Teoria da Medida, Programação numa linguagem de alto nível.